Przybliżanie wartości liczby √2

Liczba √2 jest prawdopodobnie najstarszą liczbą niewymierną.

Rozwinięcie √2 z dokładnością do 65 miejsca po przecinku wynosi:

1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73799…

Dobrym przybliżeniem wymiernym √2 jest \inline \frac{99}{70} , to błąd wartości względem wartości rzeczywistej jest mniejszy niż 1/10000.

Interpretacja geometryczna liczby √2

Jeżeli zbudujemy kwadrat o długości boku 1 jednostki, to jego przekątna ma długość √2 jednostek.

Ciekawa własność liczby √2

Wiemy, że

(\sqrt{2})^{2}=2

Skorzystajmy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę dwóch kwadratów.

1 = (\sqrt{2})^{2}-1^{2}=(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)

Zatem,

\sqrt{2}-1=\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\frac{1}{2+2(\sqrt{2}-1)}

Czyli,

\sqrt{2}=1+\frac{1}{2+(\sqrt{2}-1)}

Podstawiając za \inline \sqrt{2}-1=\frac{1}{2+(\sqrt{2}-1)} otrzymujemy kolejne rozwinięcia liczby √2.

\sqrt{2} = 1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+(\sqrt{2}-1)}}

\sqrt{2} = 1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+(\sqrt{2}-1)}}}}

\sqrt{2} = 1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+(\sqrt{2}-1)}}}}}}

\sqrt{2} = 1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+(\sqrt{2}-1)}}}}}}}}}}

W ten sposób możemy postępować w nieskończoność.

Zastanów się, czy w podobny sposób można przedstawić liczbę  √3.

Liczba √2 ma związek z kwadratem, a z jaką figurą geometryczna ma  związek liczba √3?

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *