Przybliżanie wartości liczby √2

Liczba √2 jest prawdopodobnie najstarszą liczbą niewymierną.

Rozwinięcie √2 z dokładnością do 65 miejsca po przecinku wynosi:

1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73799…

Dobrym przybliżeniem wymiernym √2 jest $\inline \frac{99}{70}$ , to błąd wartości względem wartości rzeczywistej jest mniejszy niż 1/10000.

Jeżeli zbudujemy kwadrat o długości boku 1 jednostki, to jego przekątna ma długość √2 jednostek.

Wiemy, że

$(\sqrt{2})^{2}=2$

Skorzystajmy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę dwóch kwadratów.

$1 = (\sqrt{2})^{2}-1^{2}=(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)$

Zatem,

$\sqrt{2}-1=\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\frac{1}{2+2(\sqrt{2}-1)}$

Czyli,

$\sqrt{2}=1+\frac{1}{2+(\sqrt{2}-1)}$

Podstawiając za $\inline \sqrt{2}-1=\frac{1}{2+(\sqrt{2}-1)}$ otrzymujemy kolejne rozwinięcia liczby √2.

$\sqrt{2} = 1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+(\sqrt{2}-1)}}$

$\sqrt{2} = 1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+(\sqrt{2}-1)}}}}$

$\sqrt{2} = 1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+(\sqrt{2}-1)}}}}}}$

$\sqrt{2} = 1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+(\sqrt{2}-1)}}}}}}}}}}$

W ten sposób możemy postępować w nieskończoność.

Zastanów się, czy w podobny sposób można przedstawić liczbę √3.

Liczba √2 ma związek z kwadratem, a z jaką figurą geometryczna ma związek liczba √3?