Obliczanie logarytmów bez kalkulatora

Magiczna liczba e

Liczba e może być zdefiniowana na kilka równoważnych sposobów.

Jako granica ciągu
$e = \lim_{n\rightarrow \infty } 1(+\frac{1}{n})^{n}$
Jako suma szeregu
$e = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\cdots$
Z pomocą całki, jako jedyną liczbę rzeczywistą spełniając równanie
$\int_{1}^{e}\frac{1}{x}dt=1$

Za pomocą funkcji, jako taki argument funkcji
$f(x)=x^{\frac{1}{x}}$ $x > 0″ alt=”x > 0″ align=”absmiddle”><br>dla którego wartość tej funkcji jest największa</li> </ol> <p style=$ Wartość liczby e

e=2,71828182845904523536028747135266249775724709369995…

Liczba ta najczęściej nazywana jest liczbą Eulera, choć wynalazł ją Neper i powinna być nazywana liczbą Nepera.

Ciekawostki

Liczba e pojawiła się w XVI wieku, kiedy to szkocki matematyk J. Napier ułożył tablice logarytmów pomocne przy skomplikowanych obliczeniach astronomicznych (logarytmy wymyślono, aby zamienić mnożenie na dodawanie). Przez setki lat za pomocą suwaka logarytmicznego astronomowie mogli było dodawać zamiast mnożyć wielkie liczby.
Oznaczenie tej liczby jako e wprowadził L. Euler w 1736 roku.
Niewymierność liczby e wykazał J. Lambert w 1766 roku.
Liczba e występuje we wzorze Eulera zwanym „największym wzorem matematyki” wiążącym najsłynniejsze liczby.
$e^{i\pi}+1=0$
Liczba e wykorzystywana jest w bankowości. Inwestując w banku sumę pieniędzy x złotych na p% w skali roku, po roku zwiększa się jej wartość do $\inline x \cdot (1+\frac{1}{100}).$
Po n latach na koncie będziemy mieć $\inline x \cdot (1 + \frac{p}{100})^{n}$ złotych.

Załóżmy, że mieliśmy szczęście i bankier zaproponował nam oprocentowanie 100% w skali roku. Po roku nasze konto zostanie podwojone, będziemy mieć 2x złotych. Jest też dodatkowa możliwość otrzymania odsetek w dowolnym czasie i zainwestowania ich ponownie. Jeśli skorzystamy z tej opcji i odbierzemy odsetki po 6 miesiącach i znów je zainwestujemy to po roku otrzymamy
$\inline x \cdot (1 + \frac{50}{100})^{2} = x \cdot (1 + \frac{1}{2})^{2}=2,25x$
Wybierając odsetki kwartalnie na koncie po roku będziemy mieć
$\inline x \cdot (1 + \frac{25}{100})^{4} = x \cdot (1 + \frac{1}{4})^{4}=2,441x$
Miesięczne pobieranie odsetek po roku daje nam na koncie
$\inline x \cdot (1 + \frac{1}{12})^{12} =2,5996x$
Zatem odbierając odsetki codziennie, co minutę, co sekundę coraz większe zyski, co rokuje, że inwestując w ten sposób będziemy bogaci. Jednak matematyka mówi coś innego
$e = \lim_{n \rightarrow \infty}1(+\frac{1}{n})^{n}$
Zatem stan naszego konta nigdy nie będzie większy o d kwoty 2,7182x.
W matematyce występuje funkcja wykładnicza $\inline f(x) = e^{x}$ inne je oznaczenie $\inline f(x) = exp(x)$ . Funkcja ta jako jedyna ma pochodną równą samej sobie $\inline (e^{x})' = e^{x}$ . Funkcja ta występuje w przyrodzie i w społeczeństwie, odwzorowuje ona rozwój rośliny, czy danej populacji. Oznacza to, że jeśli stopień rozwoju jest proporcjonalny do stanu rozwoju to opisuje go funkcja wykładnicza.

Logarytm naturalny

Logarytmy naturalne zostały wymyślone jako naturalny sposób zamiany mnożenia na dodawanie. Funkcje logarytmiczne to funkcje odwrotne do funkcji wykładniczych.

Funkcja wykładnicza $f(x) = e^{x}$

Funkcja odwrotna do powyższej funkcji $f^{-1}(x) = lnx$ gdzie $lnx$ oznacza $log_{e}x$ . Liczba e jest podstawą tego logarytmu.

Zatem $lnx = y <=> x=e^{y}” alt=”lnx = y <=> x=e^{y}” align=”absmiddle”> <em>gdzie</em> <img src=$ &space;0″ alt=”x > 0″ align=”absmiddle”>

Zamiana mnożenia na dodawanie wynika ze wzoru

$lnxy = lnx + lny$ gdzie $x,y > 0″ alt=”x,y > 0″ align=”absmiddle”></em></p> <h2><strong>Obliczanie logarytmów naturalnych z dowolnej liczby dodatniej</strong></h2> <p>Aby obliczyć logarytm naturalny z dowolnej liczby <img src=$ &space;0″ alt=”x > 0″ align=”absmiddle”>, należy:

Liczbę logarytmowaną x przedstawić w postaci
$x = y \cdot 10^{n}$ gdzie $1 \leq y < 10$

Skorzystać ze wzoru
$lnx = ln(y \cdot 10^{n}) = lny + ln10^{n} = lny + n \cdot ln10$

Odczytać z tablic wartość $lny$ oraz $ln10^{n}$ i wykonać wskazane obliczenia.

Tablica logarytmów naturalnych

x lnx x lnx x lnx x lnx x lnx
0,05 -2,9957 2,050 0,7178 4,050 1,3987 6,050 1,8001 8,050 2,0857
0,10 -2,3026 2,100 0,7419 4,100 1,4110 6,100 1,8083 8,100 2,0919
0,15 -1,8971 2,150 0,7655 4,150 1,4231 6,150 1,8165 8,150 2,0980
0,20 -1,6094 2,200 0,7885 4,200 1,4351 6,200 1,8245 8,200 2,1041
0,25 -1,3863 2,250 0,8109 4,250 1,4469 6,250 1,8326 8,250 2,1102
0,30 -1,2040 2,300 0,8329 4,300 1,4586 6,300 1,8405 8,300 2,1163
0,35 -1,0498 2,350 0,8544 4,350 1,4702 6,350 1,8485 8,350 2,1223
0,40 -0,9163 2,400 0,8755 4,400 1,4816 6,400 1,8563 8,400 2,1282
0,45 -0,7985 2,450 0,8961 4,450 1,4929 6,450 1,8641 8,450 2,1342
0,50 -0,6931 2,500 0,9163 4,500 1,5041 6,500 1,8718 8,500 2,1401
0,55 -0,5978 2,550 0,9361 4,550 1,5151 6,550 1,8795 8,550 2,1459
0,60 -0,5108 2,600 0,9555 4,600 1,5261 6,600 1,8871 8,600 2,1518
0,65 -0,4308 2,650 0,9746 4,650 1,5369 6,650 1,8946 8,650 2,1576
0,70 -0,3567 2,700 0,9933 4,700 1,5476 6,700 1,9021 8,700 2,1633
0,75 -0,2877 2,750 1,0116 4,750 1,5581 6,750 1,9095 8,750 2,1691
0,80 -0,2231 2,800 1,0296 4,800 1,5686 6,800 1,9169 8,800 2,1748
0,85 -0,1625 2,850 1,0473 4,850 1,5790 6,850 1,9242 8,850 2,1804
0,90 -0,1054 2,900 1,0647 4,900 1,5892 6,900 1,9315 8,900 2,1861
0,95 -0,0513 2,950 1,0818 4,950 1,5994 6,950 1,9387 8,950 2,1917
1,00 0,0000 3,000 1,0986 5,000 1,6094 7,000 1,9459 9,000 2,1972
1,05 0,0488 3,050 1,1151 5,050 1,6194 7,050 1,9530 9,050 2,2028
1,10 0,0953 3,100 1,1314 5,100 1,6292 7,100 1,9601 9,100 2,2083
1,15 0,1398 3,150 1,1474 5,150 1,6390 7,150 1,9671 9,150 2,2138
1,20 0,1823 3,200 1,1632 5,200 1,6487 7,200 1,9741 9,200 2,2192
1,25 0,2231 3,250 1,1787 5,250 1,6582 7,250 1,9810 9,250 2,2246
1,30 0,2624 3,300 1,1939 5,300 1,6677 7,300 1,9879 9,300 2,2300
1,35 0,3001 3,350 1,2090 5,350 1,6771 7,350 1,9947 9,350 2,2354
1,40 0,3365 3,400 1,2238 5,400 1,6864 7,400 2,0015 9,400 2,2407
1,45 0,3716 3,450 1,2384 5,450 1,6956 7,450 2,0082 9,450 2,2460
1,50 0,4055 3,500 1,2528 5,500 1,7047 7,500 2,0149 9,500 2,2513
1,55 0,4383 3,550 1,2669 5,550 1,7138 7,550 2,0215 9,550 2,2565
1,60 0,4700 3,600 1,2809 5,600 1,7228 7,600 2,0281 9,600 2,2618
1,65 0,5008 3,650 1,2947 5,650 1,7317 7,650 2,0347 9,650 2,2670
1,70 0,5306 3,700 1,3083 5,700 1,7405 7,700 2,0412 9,700 2,2721
1,75 0,5596 3,750 1,3218 5,750 1,7492 7,750 2,0477 9,750 2,2773
1,80 0,5878 3,800 1,3350 5,800 1,7579 7,800 2,0541 9,800 2,2824
1,85 0,6152 3,850 1,3481 5,850 1,7664 7,850 2,0605 9,850 2,2875
1,90 0,6419 3,900 1,3610 5,900 1,7750 7,900 2,0669 9,900 2,2925
1,95 0,6678 3,950 1,3737 5,950 1,7834 7,950 2,0732 9,950 2,2976
2,00 0,6931 4,000 1,3863 6,000 1,7918 8,000 2,0794 10,000 2,3026

Obliczanie logarytmów dziesiętnych z dowolnej liczby dodatniej

W matematyce często stosuje się logarytmy dziesiętne.

Logarytm dziesiętny to logarytm o podstawie 10, której nie piszemy, tzn. $log_{10}x = logx$

Definicja logarytmu: $logx=y <=> x=10^{y}” alt=”logx=y <=> x=10^{y}” align=”absmiddle”> gdzie <img src=$ &space;0″ alt=”x > 0″ align=”absmiddle”>

Aby obliczyć logarytm dziesiętny z dowolnej liczby $x = y \cdot 10^{n}$ gdzie $1 \leq y < 10$

Skorzystać ze wzoru
$logx = log(y \cdot 10^{n}) = logy + log10^{n} = logy + n \cdot log10$

Odczytać z tablic wartość $logy$ oraz $log10$ i wykonać wskazane obliczenia.

Tablica logarytmów dziesiętnych

x logx x logx x logx x logx x logx
0,05 -1,3010 2,050 0,3118 4,050 0,6075 6,050 0,7818 8,050 0,9058
0,10 -1,0000 2,100 0,3222 4,100 0,6128 6,100 0,7853 8,100 0,9085
0,15 -0,8239 2,150 0,3324 4,150 0,6180 6,150 0,7889 8,150 0,9112
0,20 -0,6990 2,200 0,3424 4,200 0,6232 6,200 0,7924 8,200 0,9138
0,25 -0,6021 2,250 0,3522 4,250 0,6284 6,250 0,7959 8,250 0,9165
0,30 -0,5229 2,300 0,3617 4,300 0,6335 6,300 0,7993 8,300 0,9191
0,35 -0,4559 2,350 0,3711 4,350 0,6385 6,350 0,8028 8,350 0,9217
0,40 -0,3979 2,400 0,3802 4,400 0,6435 6,400 0,8062 8,400 0,9243
0,45 -0,3468 2,450 0,3892 4,450 0,6484 6,450 0,8096 8,450 0,9269
0,50 -0,3010 2,500 0,3979 4,500 0,6532 6,500 0,8129 8,500 0,9294
0,55 -0,2596 2,550 0,4065 4,550 0,6580 6,550 0,8162 8,550 0,9320
0,60 -0,2218 2,600 0,4150 4,600 0,6628 6,600 0,8195 8,600 0,9345
0,65 -0,1871 2,650 0,4232 4,650 0,6675 6,650 0,8228 8,650 0,9370
0,70 -0,1549 2,700 0,4314 4,700 0,6721 6,700 0,8261 8,700 0,9395
0,75 -0,1249 2,750 0,4393 4,750 0,6767 6,750 0,8293 8,750 0,9420
0,80 -0,0969 2,800 0,4472 4,800 0,6812 6,800 0,8325 8,800 0,9445
0,85 -0,0706 2,850 0,4548 4,850 0,6857 6,850 0,8357 8,850 0,9469
0,90 -0,0458 2,900 0,4624 4,900 0,6902 6,900 0,8388 8,900 0,9494
0,95 -0,0223 2,950 0,4698 4,950 0,6946 6,950 0,8420 8,950 0,9518
1,00 0,0000 3,000 0,4771 5,000 0,6990 7,000 0,8451 9,000 0,9542
1,05 0,0212 3,050 0,4843 5,050 0,7033 7,050 0,8482 9,050 0,9566
1,10 0,0414 3,100 0,4914 5,100 0,7076 7,100 0,8513 9,100 0,9590
1,15 0,0607 3,150 0,4983 5,150 0,7118 7,150 0,8543 9,150 0,9614
1,20 0,0792 3,200 0,5051 5,200 0,7160 7,200 0,8573 9,200 0,9638
1,25 0,0969 3,250 0,5119 5,250 0,7202 7,250 0,8603 9,250 0,9661
1,30 0,1139 3,300 0,5185 5,300 0,7243 7,300 0,8633 9,300 0,9685
1,35 0,1303 3,350 0,5250 5,350 0,7284 7,350 0,8663 9,350 0,9708
1,40 0,1461 3,400 0,5315 5,400 0,7324 7,400 0,8692 9,400 0,9731
1,45 0,1614 3,450 0,5378 5,450 0,7364 7,450 0,8722 9,450 0,9754
1,50 0,1761 3,500 0,5441 5,500 0,7404 7,500 0,8751 9,500 0,9777
1,55 0,1903 3,550 0,5502 5,550 0,7443 7,550 0,8779 9,550 0,9800
1,60 0,2041 3,600 0,5563 5,600 0,7482 7,600 0,8808 9,600 0,9823
1,65 0,2175 3,650 0,5623 5,650 0,7520 7,650 0,8837 9,650 0,9845
1,70 0,2304 3,700 0,5682 5,700 0,7559 7,700 0,8865 9,700 0,9868
1,75 0,2430 3,750 0,5740 5,750 0,7597 7,750 0,8893 9,750 0,9890
1,80 0,2553 3,800 0,5798 5,800 0,7634 7,800 0,8921 9,800 0,9912
1,85 0,2672 3,850 0,5855 5,850 0,7672 7,850 0,8949 9,850 0,9934
1,90 0,2788 3,900 0,5911 5,900 0,7709 7,900 0,8976 9,900 0,9956
1,95 0,2900 3,950 0,5966 5,950 0,7745 7,950 0,9004 9,950 0,9978
2,00 0,3010 4,000 0,6021 6,000 0,7782 8,000 0,9031 10,000 1,0000

Obliczanie logarytmów o dowolnej podstawie

Aby obliczyć logarytm o dowolnej podstawie z dowolnej liczby dodatniej korzystamy z jednego z następujących wzoru

$log_{a}x=\frac{lnx}{lna}$ gdzie $a \in R - {1}$

lub

$log_{a}x=\frac{logx}{loga}$ gdzie $a \in R - {1}$

Logarytmy naturalne lub dziesiętne obliczamy zgodnie z wcześniej opisanymi algorytmami.

MDN

x	lnx	x	lnx	x	lnx	x	lnx	x	lnx
0,05	-2,9957	2,050	0,7178	4,050	1,3987	6,050	1,8001	8,050	2,0857
0,10	-2,3026	2,100	0,7419	4,100	1,4110	6,100	1,8083	8,100	2,0919
0,15	-1,8971	2,150	0,7655	4,150	1,4231	6,150	1,8165	8,150	2,0980
0,20	-1,6094	2,200	0,7885	4,200	1,4351	6,200	1,8245	8,200	2,1041
0,25	-1,3863	2,250	0,8109	4,250	1,4469	6,250	1,8326	8,250	2,1102
0,30	-1,2040	2,300	0,8329	4,300	1,4586	6,300	1,8405	8,300	2,1163
0,35	-1,0498	2,350	0,8544	4,350	1,4702	6,350	1,8485	8,350	2,1223
0,40	-0,9163	2,400	0,8755	4,400	1,4816	6,400	1,8563	8,400	2,1282
0,45	-0,7985	2,450	0,8961	4,450	1,4929	6,450	1,8641	8,450	2,1342
0,50	-0,6931	2,500	0,9163	4,500	1,5041	6,500	1,8718	8,500	2,1401
0,55	-0,5978	2,550	0,9361	4,550	1,5151	6,550	1,8795	8,550	2,1459
0,60	-0,5108	2,600	0,9555	4,600	1,5261	6,600	1,8871	8,600	2,1518
0,65	-0,4308	2,650	0,9746	4,650	1,5369	6,650	1,8946	8,650	2,1576
0,70	-0,3567	2,700	0,9933	4,700	1,5476	6,700	1,9021	8,700	2,1633
0,75	-0,2877	2,750	1,0116	4,750	1,5581	6,750	1,9095	8,750	2,1691
0,80	-0,2231	2,800	1,0296	4,800	1,5686	6,800	1,9169	8,800	2,1748
0,85	-0,1625	2,850	1,0473	4,850	1,5790	6,850	1,9242	8,850	2,1804
0,90	-0,1054	2,900	1,0647	4,900	1,5892	6,900	1,9315	8,900	2,1861
0,95	-0,0513	2,950	1,0818	4,950	1,5994	6,950	1,9387	8,950	2,1917
1,00	0,0000	3,000	1,0986	5,000	1,6094	7,000	1,9459	9,000	2,1972
1,05	0,0488	3,050	1,1151	5,050	1,6194	7,050	1,9530	9,050	2,2028
1,10	0,0953	3,100	1,1314	5,100	1,6292	7,100	1,9601	9,100	2,2083
1,15	0,1398	3,150	1,1474	5,150	1,6390	7,150	1,9671	9,150	2,2138
1,20	0,1823	3,200	1,1632	5,200	1,6487	7,200	1,9741	9,200	2,2192
1,25	0,2231	3,250	1,1787	5,250	1,6582	7,250	1,9810	9,250	2,2246
1,30	0,2624	3,300	1,1939	5,300	1,6677	7,300	1,9879	9,300	2,2300
1,35	0,3001	3,350	1,2090	5,350	1,6771	7,350	1,9947	9,350	2,2354
1,40	0,3365	3,400	1,2238	5,400	1,6864	7,400	2,0015	9,400	2,2407
1,45	0,3716	3,450	1,2384	5,450	1,6956	7,450	2,0082	9,450	2,2460
1,50	0,4055	3,500	1,2528	5,500	1,7047	7,500	2,0149	9,500	2,2513
1,55	0,4383	3,550	1,2669	5,550	1,7138	7,550	2,0215	9,550	2,2565
1,60	0,4700	3,600	1,2809	5,600	1,7228	7,600	2,0281	9,600	2,2618
1,65	0,5008	3,650	1,2947	5,650	1,7317	7,650	2,0347	9,650	2,2670
1,70	0,5306	3,700	1,3083	5,700	1,7405	7,700	2,0412	9,700	2,2721
1,75	0,5596	3,750	1,3218	5,750	1,7492	7,750	2,0477	9,750	2,2773
1,80	0,5878	3,800	1,3350	5,800	1,7579	7,800	2,0541	9,800	2,2824
1,85	0,6152	3,850	1,3481	5,850	1,7664	7,850	2,0605	9,850	2,2875
1,90	0,6419	3,900	1,3610	5,900	1,7750	7,900	2,0669	9,900	2,2925
1,95	0,6678	3,950	1,3737	5,950	1,7834	7,950	2,0732	9,950	2,2976
2,00	0,6931	4,000	1,3863	6,000	1,7918	8,000	2,0794	10,000	2,3026

x	logx	x	logx	x	logx	x	logx	x	logx
0,05	-1,3010	2,050	0,3118	4,050	0,6075	6,050	0,7818	8,050	0,9058
0,10	-1,0000	2,100	0,3222	4,100	0,6128	6,100	0,7853	8,100	0,9085
0,15	-0,8239	2,150	0,3324	4,150	0,6180	6,150	0,7889	8,150	0,9112
0,20	-0,6990	2,200	0,3424	4,200	0,6232	6,200	0,7924	8,200	0,9138
0,25	-0,6021	2,250	0,3522	4,250	0,6284	6,250	0,7959	8,250	0,9165
0,30	-0,5229	2,300	0,3617	4,300	0,6335	6,300	0,7993	8,300	0,9191
0,35	-0,4559	2,350	0,3711	4,350	0,6385	6,350	0,8028	8,350	0,9217
0,40	-0,3979	2,400	0,3802	4,400	0,6435	6,400	0,8062	8,400	0,9243
0,45	-0,3468	2,450	0,3892	4,450	0,6484	6,450	0,8096	8,450	0,9269
0,50	-0,3010	2,500	0,3979	4,500	0,6532	6,500	0,8129	8,500	0,9294
0,55	-0,2596	2,550	0,4065	4,550	0,6580	6,550	0,8162	8,550	0,9320
0,60	-0,2218	2,600	0,4150	4,600	0,6628	6,600	0,8195	8,600	0,9345
0,65	-0,1871	2,650	0,4232	4,650	0,6675	6,650	0,8228	8,650	0,9370
0,70	-0,1549	2,700	0,4314	4,700	0,6721	6,700	0,8261	8,700	0,9395
0,75	-0,1249	2,750	0,4393	4,750	0,6767	6,750	0,8293	8,750	0,9420
0,80	-0,0969	2,800	0,4472	4,800	0,6812	6,800	0,8325	8,800	0,9445
0,85	-0,0706	2,850	0,4548	4,850	0,6857	6,850	0,8357	8,850	0,9469
0,90	-0,0458	2,900	0,4624	4,900	0,6902	6,900	0,8388	8,900	0,9494
0,95	-0,0223	2,950	0,4698	4,950	0,6946	6,950	0,8420	8,950	0,9518
1,00	0,0000	3,000	0,4771	5,000	0,6990	7,000	0,8451	9,000	0,9542
1,05	0,0212	3,050	0,4843	5,050	0,7033	7,050	0,8482	9,050	0,9566
1,10	0,0414	3,100	0,4914	5,100	0,7076	7,100	0,8513	9,100	0,9590
1,15	0,0607	3,150	0,4983	5,150	0,7118	7,150	0,8543	9,150	0,9614
1,20	0,0792	3,200	0,5051	5,200	0,7160	7,200	0,8573	9,200	0,9638
1,25	0,0969	3,250	0,5119	5,250	0,7202	7,250	0,8603	9,250	0,9661
1,30	0,1139	3,300	0,5185	5,300	0,7243	7,300	0,8633	9,300	0,9685
1,35	0,1303	3,350	0,5250	5,350	0,7284	7,350	0,8663	9,350	0,9708
1,40	0,1461	3,400	0,5315	5,400	0,7324	7,400	0,8692	9,400	0,9731
1,45	0,1614	3,450	0,5378	5,450	0,7364	7,450	0,8722	9,450	0,9754
1,50	0,1761	3,500	0,5441	5,500	0,7404	7,500	0,8751	9,500	0,9777
1,55	0,1903	3,550	0,5502	5,550	0,7443	7,550	0,8779	9,550	0,9800
1,60	0,2041	3,600	0,5563	5,600	0,7482	7,600	0,8808	9,600	0,9823
1,65	0,2175	3,650	0,5623	5,650	0,7520	7,650	0,8837	9,650	0,9845
1,70	0,2304	3,700	0,5682	5,700	0,7559	7,700	0,8865	9,700	0,9868
1,75	0,2430	3,750	0,5740	5,750	0,7597	7,750	0,8893	9,750	0,9890
1,80	0,2553	3,800	0,5798	5,800	0,7634	7,800	0,8921	9,800	0,9912
1,85	0,2672	3,850	0,5855	5,850	0,7672	7,850	0,8949	9,850	0,9934
1,90	0,2788	3,900	0,5911	5,900	0,7709	7,900	0,8976	9,900	0,9956
1,95	0,2900	3,950	0,5966	5,950	0,7745	7,950	0,9004	9,950	0,9978
2,00	0,3010	4,000	0,6021	6,000	0,7782	8,000	0,9031	10,000	1,0000