Obliczanie logarytmów bez kalkulatora

Magiczna liczba e

Liczba e może być zdefiniowana na kilka równoważnych sposobów.

  1. Jako granica ciągu
    e = \lim_{n\rightarrow \infty } 1(+\frac{1}{n})^{n}
  2. Jako suma szeregu
    e = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\cdots
  3. Z pomocą całki, jako jedyną liczbę rzeczywistą spełniając równanie
    \int_{1}^{e}\frac{1}{x}dt=1
  4. Za pomocą funkcji, jako taki argument funkcji
    f(x)=x^{\frac{1}{x}}     x > 0
    dla którego wartość tej funkcji jest największa

Wartość liczby e

e=2,71828182845904523536028747135266249775724709369995…

Liczba ta najczęściej nazywana jest liczbą Eulera, choć wynalazł ją Neper i powinna być nazywana liczbą Nepera.

Ciekawostki

  1. Liczba e pojawiła się w XVI wieku, kiedy to szkocki matematyk J. Napier ułożył tablice logarytmów pomocne przy skomplikowanych obliczeniach astronomicznych (logarytmy wymyślono, aby zamienić mnożenie na dodawanie). Przez setki lat za pomocą suwaka logarytmicznego astronomowie mogli było dodawać zamiast mnożyć wielkie liczby.
  2. Oznaczenie tej liczby jako e wprowadził L. Euler w 1736 roku.
  3. Niewymierność liczby e wykazał J. Lambert w 1766 roku.
  4. Liczba e występuje we wzorze Eulera zwanym „największym wzorem matematyki” wiążącym najsłynniejsze liczby.
    e^{i\pi}+1=0
  5. Liczba e wykorzystywana jest w bankowości. Inwestując w banku sumę pieniędzy x złotych na p% w skali roku, po roku zwiększa się jej wartość do \inline x \cdot (1+\frac{1}{100}).
    Po n latach na koncie będziemy mieć \inline x \cdot (1 + \frac{p}{100})^{n} złotych.

    Załóżmy, że mieliśmy szczęście i bankier zaproponował nam oprocentowanie 100% w skali roku. Po roku nasze konto zostanie podwojone, będziemy mieć 2x złotych. Jest też dodatkowa możliwość otrzymania odsetek w dowolnym czasie i zainwestowania ich ponownie. Jeśli skorzystamy z tej opcji i odbierzemy odsetki po 6 miesiącach i znów je zainwestujemy to po roku otrzymamy
    \inline x \cdot (1 + \frac{50}{100})^{2} = x \cdot (1 + \frac{1}{2})^{2}=2,25x
    Wybierając odsetki kwartalnie na koncie po roku będziemy mieć
    \inline x \cdot (1 + \frac{25}{100})^{4} = x \cdot (1 + \frac{1}{4})^{4}=2,441x
    Miesięczne pobieranie odsetek po roku daje nam na koncie
    \inline x \cdot (1 + \frac{1}{12})^{12} =2,5996x
    Zatem odbierając odsetki codziennie, co minutę, co sekundę coraz większe zyski, co rokuje, że inwestując w ten sposób będziemy bogaci. Jednak matematyka mówi coś innego
    e = \lim_{n \rightarrow \infty}1(+\frac{1}{n})^{n}
    Zatem stan naszego konta nigdy nie będzie większy o d kwoty 2,7182x.
  6. W matematyce występuje funkcja wykładnicza \inline f(x) = e^{x} inne je oznaczenie \inline f(x) = exp(x). Funkcja ta jako jedyna ma pochodną równą samej sobie \inline (e^{x})' = e^{x}. Funkcja ta występuje w przyrodzie i w społeczeństwie, odwzorowuje ona rozwój rośliny, czy danej populacji. Oznacza to, że jeśli stopień rozwoju jest proporcjonalny do stanu rozwoju to opisuje go funkcja wykładnicza.

Logarytm naturalny

Logarytmy naturalne zostały wymyślone jako naturalny sposób zamiany mnożenia na dodawanie. Funkcje logarytmiczne to funkcje odwrotne do funkcji wykładniczych. 

Funkcja wykładnicza  f(x) = e^{x}

Funkcja odwrotna do powyższej funkcji f^{-1}(x) = lnx gdzie  x > 0

Gdzie lnx oznacza log_{e}x. Liczba e jest podstawą tego logarytmu.

Zatem lnx = y <=> x=e^{y} gdzie x > 0

Zamiana mnożenia na dodawanie wynika ze wzoru

lnxy = lnx + lny  gdzie  x,y > 0

Obliczanie logarytmów naturalnych z dowolnej liczby dodatniej

Aby obliczyć logarytm naturalny z dowolnej liczby x > 0, należy:

  1. Liczbę logarytmowaną x przedstawić w postaci
    x = y \cdot 10^{n} gdzie 1 \leq y < 10
  2. Skorzystać ze wzoru
    lnx = ln(y \cdot 10^{n}) = lny + ln10^{n} = lny + n \cdot ln10
  3. Odczytać z tablic wartość lny oraz ln10^{n} i wykonać wskazane obliczenia.

Tablica logarytmów naturalnych

x lnx x lnx x lnx x lnx x lnx
0,05 -2,9957 2,050 0,7178 4,050 1,3987 6,050 1,8001 8,050 2,0857
0,10 -2,3026 2,100 0,7419 4,100 1,4110 6,100 1,8083 8,100 2,0919
0,15 -1,8971 2,150 0,7655 4,150 1,4231 6,150 1,8165 8,150 2,0980
0,20 -1,6094 2,200 0,7885 4,200 1,4351 6,200 1,8245 8,200 2,1041
0,25 -1,3863 2,250 0,8109 4,250 1,4469 6,250 1,8326 8,250 2,1102
0,30 -1,2040 2,300 0,8329 4,300 1,4586 6,300 1,8405 8,300 2,1163
0,35 -1,0498 2,350 0,8544 4,350 1,4702 6,350 1,8485 8,350 2,1223
0,40 -0,9163 2,400 0,8755 4,400 1,4816 6,400 1,8563 8,400 2,1282
0,45 -0,7985 2,450 0,8961 4,450 1,4929 6,450 1,8641 8,450 2,1342
0,50 -0,6931 2,500 0,9163 4,500 1,5041 6,500 1,8718 8,500 2,1401
0,55 -0,5978 2,550 0,9361 4,550 1,5151 6,550 1,8795 8,550 2,1459
0,60 -0,5108 2,600 0,9555 4,600 1,5261 6,600 1,8871 8,600 2,1518
0,65 -0,4308 2,650 0,9746 4,650 1,5369 6,650 1,8946 8,650 2,1576
0,70 -0,3567 2,700 0,9933 4,700 1,5476 6,700 1,9021 8,700 2,1633
0,75 -0,2877 2,750 1,0116 4,750 1,5581 6,750 1,9095 8,750 2,1691
0,80 -0,2231 2,800 1,0296 4,800 1,5686 6,800 1,9169 8,800 2,1748
0,85 -0,1625 2,850 1,0473 4,850 1,5790 6,850 1,9242 8,850 2,1804
0,90 -0,1054 2,900 1,0647 4,900 1,5892 6,900 1,9315 8,900 2,1861
0,95 -0,0513 2,950 1,0818 4,950 1,5994 6,950 1,9387 8,950 2,1917
1,00 0,0000 3,000 1,0986 5,000 1,6094 7,000 1,9459 9,000 2,1972
1,05 0,0488 3,050 1,1151 5,050 1,6194 7,050 1,9530 9,050 2,2028
1,10 0,0953 3,100 1,1314 5,100 1,6292 7,100 1,9601 9,100 2,2083
1,15 0,1398 3,150 1,1474 5,150 1,6390 7,150 1,9671 9,150 2,2138
1,20 0,1823 3,200 1,1632 5,200 1,6487 7,200 1,9741 9,200 2,2192
1,25 0,2231 3,250 1,1787 5,250 1,6582 7,250 1,9810 9,250 2,2246
1,30 0,2624 3,300 1,1939 5,300 1,6677 7,300 1,9879 9,300 2,2300
1,35 0,3001 3,350 1,2090 5,350 1,6771 7,350 1,9947 9,350 2,2354
1,40 0,3365 3,400 1,2238 5,400 1,6864 7,400 2,0015 9,400 2,2407
1,45 0,3716 3,450 1,2384 5,450 1,6956 7,450 2,0082 9,450 2,2460
1,50 0,4055 3,500 1,2528 5,500 1,7047 7,500 2,0149 9,500 2,2513
1,55 0,4383 3,550 1,2669 5,550 1,7138 7,550 2,0215 9,550 2,2565
1,60 0,4700 3,600 1,2809 5,600 1,7228 7,600 2,0281 9,600 2,2618
1,65 0,5008 3,650 1,2947 5,650 1,7317 7,650 2,0347 9,650 2,2670
1,70 0,5306 3,700 1,3083 5,700 1,7405 7,700 2,0412 9,700 2,2721
1,75 0,5596 3,750 1,3218 5,750 1,7492 7,750 2,0477 9,750 2,2773
1,80 0,5878 3,800 1,3350 5,800 1,7579 7,800 2,0541 9,800 2,2824
1,85 0,6152 3,850 1,3481 5,850 1,7664 7,850 2,0605 9,850 2,2875
1,90 0,6419 3,900 1,3610 5,900 1,7750 7,900 2,0669 9,900 2,2925
1,95 0,6678 3,950 1,3737 5,950 1,7834 7,950 2,0732 9,950 2,2976
2,00 0,6931 4,000 1,3863 6,000 1,7918 8,000 2,0794 10,000 2,3026

Obliczanie logarytmów dziesiętnych z dowolnej liczby dodatniej

W matematyce często stosuje się logarytmy dziesiętne.

Logarytm dziesiętny to logarytm o podstawie 10, której nie piszemy, tzn.  log_{10}x = logx

Definicja logarytmu: logx=y <=> x=10^{y} gdzie  x > 0

 

Aby obliczyć logarytm dziesiętny z dowolnej liczby x > 0, należy:

  1. Liczbę logarytmowaną x przedstawić w postaci  x = y \cdot 10^{n} gdzie  1 \leq y < 10
  2. Skorzystać ze wzoru
    logx = log(y \cdot 10^{n}) = logy + log10^{n} = logy + n \cdot log10
  3. Odczytać z tablic wartość logy oraz  log10 i wykonać wskazane obliczenia.

Tablica logarytmów dziesiętnych

x logx x logx x logx x logx x logx
0,05 -1,3010 2,050 0,3118 4,050 0,6075 6,050 0,7818 8,050 0,9058
0,10 -1,0000 2,100 0,3222 4,100 0,6128 6,100 0,7853 8,100 0,9085
0,15 -0,8239 2,150 0,3324 4,150 0,6180 6,150 0,7889 8,150 0,9112
0,20 -0,6990 2,200 0,3424 4,200 0,6232 6,200 0,7924 8,200 0,9138
0,25 -0,6021 2,250 0,3522 4,250 0,6284 6,250 0,7959 8,250 0,9165
0,30 -0,5229 2,300 0,3617 4,300 0,6335 6,300 0,7993 8,300 0,9191
0,35 -0,4559 2,350 0,3711 4,350 0,6385 6,350 0,8028 8,350 0,9217
0,40 -0,3979 2,400 0,3802 4,400 0,6435 6,400 0,8062 8,400 0,9243
0,45 -0,3468 2,450 0,3892 4,450 0,6484 6,450 0,8096 8,450 0,9269
0,50 -0,3010 2,500 0,3979 4,500 0,6532 6,500 0,8129 8,500 0,9294
0,55 -0,2596 2,550 0,4065 4,550 0,6580 6,550 0,8162 8,550 0,9320
0,60 -0,2218 2,600 0,4150 4,600 0,6628 6,600 0,8195 8,600 0,9345
0,65 -0,1871 2,650 0,4232 4,650 0,6675 6,650 0,8228 8,650 0,9370
0,70 -0,1549 2,700 0,4314 4,700 0,6721 6,700 0,8261 8,700 0,9395
0,75 -0,1249 2,750 0,4393 4,750 0,6767 6,750 0,8293 8,750 0,9420
0,80 -0,0969 2,800 0,4472 4,800 0,6812 6,800 0,8325 8,800 0,9445
0,85 -0,0706 2,850 0,4548 4,850 0,6857 6,850 0,8357 8,850 0,9469
0,90 -0,0458 2,900 0,4624 4,900 0,6902 6,900 0,8388 8,900 0,9494
0,95 -0,0223 2,950 0,4698 4,950 0,6946 6,950 0,8420 8,950 0,9518
1,00 0,0000 3,000 0,4771 5,000 0,6990 7,000 0,8451 9,000 0,9542
1,05 0,0212 3,050 0,4843 5,050 0,7033 7,050 0,8482 9,050 0,9566
1,10 0,0414 3,100 0,4914 5,100 0,7076 7,100 0,8513 9,100 0,9590
1,15 0,0607 3,150 0,4983 5,150 0,7118 7,150 0,8543 9,150 0,9614
1,20 0,0792 3,200 0,5051 5,200 0,7160 7,200 0,8573 9,200 0,9638
1,25 0,0969 3,250 0,5119 5,250 0,7202 7,250 0,8603 9,250 0,9661
1,30 0,1139 3,300 0,5185 5,300 0,7243 7,300 0,8633 9,300 0,9685
1,35 0,1303 3,350 0,5250 5,350 0,7284 7,350 0,8663 9,350 0,9708
1,40 0,1461 3,400 0,5315 5,400 0,7324 7,400 0,8692 9,400 0,9731
1,45 0,1614 3,450 0,5378 5,450 0,7364 7,450 0,8722 9,450 0,9754
1,50 0,1761 3,500 0,5441 5,500 0,7404 7,500 0,8751 9,500 0,9777
1,55 0,1903 3,550 0,5502 5,550 0,7443 7,550 0,8779 9,550 0,9800
1,60 0,2041 3,600 0,5563 5,600 0,7482 7,600 0,8808 9,600 0,9823
1,65 0,2175 3,650 0,5623 5,650 0,7520 7,650 0,8837 9,650 0,9845
1,70 0,2304 3,700 0,5682 5,700 0,7559 7,700 0,8865 9,700 0,9868
1,75 0,2430 3,750 0,5740 5,750 0,7597 7,750 0,8893 9,750 0,9890
1,80 0,2553 3,800 0,5798 5,800 0,7634 7,800 0,8921 9,800 0,9912
1,85 0,2672 3,850 0,5855 5,850 0,7672 7,850 0,8949 9,850 0,9934
1,90 0,2788 3,900 0,5911 5,900 0,7709 7,900 0,8976 9,900 0,9956
1,95 0,2900 3,950 0,5966 5,950 0,7745 7,950 0,9004 9,950 0,9978
2,00 0,3010 4,000 0,6021 6,000 0,7782 8,000 0,9031 10,000 1,0000

Obliczanie logarytmów o dowolnej podstawie

Aby obliczyć logarytm o dowolnej podstawie z dowolnej liczby dodatniej korzystamy z jednego z następujących wzoru

log_{a}x=\frac{lnx}{lna}  gdzie  x>0   a \in R - {1}

lub

log_{a}x=\frac{logx}{loga}  gdzie  x>0   a \in R - {1}

Logarytmy naturalne lub dziesiętne obliczamy zgodnie z wcześniej opisanymi algorytmami.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *