Wzory skróconego mnożenia, trójkąt Pascala i dwumian Newtona

W szkole uczymy się m.in. następujących wzorów skróconego mnożenia.

0  (a+b)0=1
1  (a+b)1=a+b
2  (a+b)2=a2+2ab+b2
3  (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

Pamiętajmy, że a i b oznaczają dowolne wyrażenia algebraiczne lub arytmetyczne.

Jaki związek mają one z trójkątem Pascala i dwumianem Newtona?

Trójkąt Pascala – co to takiego?

Kliknij przycisk

Pierwsza i ostatnia liczba w każdym wierszu trójkąta Pascala  jest równa 1. Pozostałe liczby są  sumą dwóch bezpośrednio znajdujących się nad nimi liczb.

Przykład:

5

   10

5+10

=15

Liczby stojące w n-tym wierszu trójkąta Pascala to kolejne współczynniki występujące we wzorach skróconego mnożenia, a mówiąc ogólniej wzoru (a+b)n.

Korzystając z tej zależności wzór na (a+b)5 będzie mieć postać:

Warto też zauważyć, że suma potęg a i b występujących w jednym składniku sumy stojącej po prawej stronie wzoru zawsze jest równa n.

W ten sposób budując trójkąt Pascala możemy znajdować współczynniki wzoru (a+b)n o dowolnym wykładniku naturalnym (co prawda jeśli n będzie dużą liczbą to będzie to trochę czasochłonne).

Okazuje się, że w trójkącie Pascala liczba stojąca w wierszu n  na miejscu k jest równa {\displaystyle {n \choose k}}.

Przykład:
W wierszu 5 na miejscu 2 stoi 10 co jest właśnie równe {\displaystyle {n \choose k}}{\displaystyle {5 \choose 2}}.

Symbol {\displaystyle {n \choose k}} zwany jest symbolem Newtona i obliczamy go korzystając ze wzoru:

{n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k!)}   gdzie n,k \in N i  k\leq n

przykład:

{5 \choose 2} = \frac{5!}{3!(5-2)!} = \frac{5!}{2!(3)!} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 }{1 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3} = 2 \cdot 5 = 10

Po co nam ten symbol Newtona?

Okazuje się, że Newton wymyślił go, aby zapisać dowolny wzór (a+b)n bez wyznaczania trójkąta Pascala.

To po prostu wzór na dowolną potęgę naturalną sumy dwóch wyrażeń, czyli (a+b)n.

\inline \left ( a + b \right )^{n} = \binom{n}{0}a^{n}b^{0} + \binom{n}{1}a^{n-1}b^{1} + \binom{n}{2}a^{n-2}b^{2}+\cdots+\binom{n}{n-1}a^{1}b^{n-1}+\binom{n}{n}a^{0}b^{n}
gdzie  \inline a,b \in R - \left \{ 0 \right \}   \inline n \in N

Wzór ten nazywany jest dwumianem Newtona, kolejne jego współczynniki liczbowe, to właśnie tzw. symbole Newtona.

A co ze wzorami na potęgę naturalną różnicy (a-b)n.

Okazuje się, że we wzorach na potęgę naturalną sumy wystarczy przed składnikami stojącymi na miejscach parzystych zamiast + wstawić  -.

(a–b)0=1
(a–b)1=a–b
(a–b)2=a2–2ab+b2
(a–b)3=a3–3a2b+3ab2–b3
(a–b)5=a5–5a4b1+10a3b2–10a2b3–5ab4+b5

Ciekawostka

Jeśli z trójkąta Pascala usuniemy wszystkie liczby parzyste, to pozostałe liczby nieparzyste układają się w geometryczny wzór będący trójkątem Sierpińskiego.

Kliknij przycisk

MDN